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+{"hands_on_practices": [{"introduction": "在通信、电力系统等众多应用中，理解信号的能量是评估其强度或信息承载能力的关键。本练习将能量公式直接应用于一个分段定义的连续时间信号，帮助你通过实践掌握对这类基础信号进行能量计算的方法。[@problem_id:1711965]", "problem": "在一个数字信号方案中，一条消息使用一个时变信号 $x(t)$ 进行编码。一个特定的信号脉冲由两个连续的非零段定义。在第一段中，从时间 $t=0$ 到 $t=\\tau$，信号保持恒定的幅度 $A$。在第二段中，从时间 $t=\\tau$ 到 $t=3\\tau$，信号保持恒定的幅度 $-B$。在所有其他时间，信号的幅度为零。$A$ 和 $B$ 都是正常数，$\\tau$ 是一个正的时间常数。一个连续时间信号 $x(t)$ 的总能量 $E$ 由积分 $E = \\int_{-\\infty}^{\\infty} |x(t)|^2 dt$ 定义。求该信号脉冲 $x(t)$ 的总能量，用 $A$、$B$ 和 $\\tau$ 表示。", "solution": "该信号仅在两个区间上非零。具体来说，当 $0 \\leq t \\leq \\tau$ 时，$x(t)=A$；当 $\\tau  t \\leq 3\\tau$ 时，$x(t)=-B$；在其他情况下，$x(t)=0$。其中 $A0$，$B0$ 且 $\\tau0$。一个连续时间信号的总能量定义为\n$$\nE=\\int_{-\\infty}^{\\infty} |x(t)|^{2}\\, dt.\n$$\n由于在 $[0,\\tau]$ 上 $|x(t)|^{2}=A^{2}$，在 $(\\tau,3\\tau]$ 上 $|x(t)|^{2}=(-B)^2=B^{2}$，在其他地方为零，该积分可以分解为\n$$\nE=\\int_{0}^{\\tau} A^{2}\\, dt+\\int_{\\tau}^{3\\tau} B^{2}\\, dt.\n$$\n计算这两个定积分，\n$$\n\\int_{0}^{\\tau} A^{2}\\, dt=A^{2}\\tau,\\qquad \\int_{\\tau}^{3\\tau} B^{2}\\, dt=B^{2}(3\\tau-\\tau)=2B^{2}\\tau.\n$$\n因此，总能量为\n$$\nE=A^{2}\\tau+2B^{2}\\tau=\\tau\\left(A^{2}+2B^{2}\\right).\n$$", "answer": "$$\\boxed{\\tau\\left(A^{2}+2B^{2}\\right)}$$", "id": "1711965"}, {"introduction": "周期性是自然界和工程领域中许多信号的基本特征，尤其是在分析振荡和波形时。本题要求你确定一个由两个不同频率的正弦信号叠加而成的复合离散时间信号的基波周期，这有助于你巩固周期性原理，并学会如何通过求最小公倍数来确定复合信号的周期性。[@problem_id:1711939]", "problem": "一个离散时间信号 $x[n]$ 由两个正弦信号叠加而成。得到的信号由以下方程描述：\n$$x[n] = \\cos\\left(\\frac{\\pi}{3}n\\right) - \\sin\\left(\\frac{\\pi}{4}n\\right)$$\n其中 $n$ 是表示采样索引的整数。确定信号 $x[n]$ 的基波周期。", "solution": "一个离散时间正弦信号 $s[n]=\\cos(\\Omega n+\\phi)$ (或 $s[n]=\\sin(\\Omega n+\\phi)$) 是周期的，当且仅当存在一个正整数 $N$ 和一个整数 $k$ 使得\n$$\n\\Omega N = 2\\pi k.\n$$\n满足条件的最小正整数 $N$ 就是基波周期。\n\n对于第一个分量 $\\cos\\!\\left(\\frac{\\pi}{3}n\\right)$，其周期性要求\n$$\n\\frac{\\pi}{3}N_{1}=2\\pi k_{1}\\quad\\Rightarrow\\quad N_{1}=6k_{1}.\n$$\n最小的正整数解是 $N_{1}=6$。\n\n对于第二个分量 $-\\sin\\!\\left(\\frac{\\pi}{4}n\\right)$，其周期性要求\n$$\n\\frac{\\pi}{4}N_{2}=2\\pi k_{2}\\quad\\Rightarrow\\quad N_{2}=8k_{2}.\n$$\n最小的正整数解是 $N_{2}=8$。\n\n为了使和信号是周期的，公共周期 $N$ 必须同时满足这两个条件，因此 $N$ 必须是 $6$ 和 $8$ 的公倍数。基波周期是最小公倍数：\n$$\n\\operatorname{lcm}(6,8)=\\operatorname{lcm}(2\\cdot 3,2^{3})=2^{3}\\cdot 3=24.\n$$\n因此，信号 $x[n]$ 的基波周期是 $24$。", "answer": "$$\\boxed{24}$$", "id": "1711939"}, {"introduction": "将复杂信号分解为更简单的部分是一种强大而基础的分析技术。本练习将探讨如何将一个信号分解为其偶分量 ($x_e(t)$) 和奇分量 ($x_o(t)$)，并进一步计算其中一个分量的能量，这不仅能加深你对信号对称性的理解，还能揭示信号的整体能量与其分量能量之间的关系。[@problem_id:1711935]", "problem": "一个连续时间信号，记作 $x(t)$，被定义为一个线性斜坡。具体来说，在时间区间 $1 \\le t \\le 3$ 内，其值由函数 $x(t) = t - 1$ 给出。在所有其他时间，该信号的值为零。\n\n任何信号都可以唯一地分解为一个偶分量 $x_e(t)$ 和一个奇分量 $x_o(t)$ 的和，使得 $x(t) = x_e(t) + x_o(t)$。偶函数满足性质 $f(-t) = f(t)$，奇函数满足性质 $g(-t) = -g(t)$，对所有 $t$ 成立。\n\n信号 $f(t)$ 的总能量，在此上下文中被视为一个无量纲的量，通过积分 $E_f = \\int_{-\\infty}^{\\infty} |f(t)|^2 dt$ 计算。\n\n您的任务是计算信号 $x(t)$ 的奇分量的总能量。请将您的最终答案表示为单个闭式解析表达式。", "solution": "给定信号定义为：当 $1 \\le t \\le 3$ 时，$x(t) = t-1$；在其他情况下，$x(t)=0$。\n任何信号都可以分解为其偶分量 $x_e(t) = \\frac{1}{2}(x(t)+x(-t))$ 和奇分量 $x_o(t) = \\frac{1}{2}(x(t)-x(-t))$。我们的目标是计算奇分量 $x_o(t)$ 的总能量 $E_o = \\int_{-\\infty}^{\\infty} |x_o(t)|^2 dt$。\n\n首先，我们需要确定 $x_o(t)$ 的表达式。为此，我们先分析 $x(t)$ 和 $x(-t)$。\n-   $x(t)$ 在 $t \\in [1, 3]$ 区间内非零。\n-   $x(-t)$ 是 $x(t)$ 关于纵轴的镜像。它在 $-t \\in [1, 3]$，即 $t \\in [-3, -1]$ 区间内非零。在该区间内，$x(-t) = (-t) - 1 = -t - 1$。\n\n现在我们可以分段构造 $x_o(t) = \\frac{1}{2}(x(t) - x(-t))$：\n1.  当 $t \\in [1, 3]$ 时，$x(-t) = 0$，所以 $x_o(t) = \\frac{1}{2}(x(t) - 0) = \\frac{1}{2}(t-1)$。\n2.  当 $t \\in [-3, -1]$ 时，$x(t) = 0$，所以 $x_o(t) = \\frac{1}{2}(0 - x(-t)) = -\\frac{1}{2}(-t-1) = \\frac{1}{2}(t+1)$。\n3.  在所有其他时间，$x(t)$ 和 $x(-t)$ 均为零，所以 $x_o(t) = 0$。\n\n接下来，我们计算 $x_o(t)$ 的总能量：\n$$\nE_o = \\int_{-\\infty}^{\\infty} |x_o(t)|^2 dt = \\int_{-3}^{-1} \\left|\\frac{1}{2}(t+1)\\right|^2 dt + \\int_{1}^{3} \\left|\\frac{1}{2}(t-1)\\right|^2 dt\n$$\n这两个积分可以通过变量替换证明是相等的。我们计算其中一个并乘以2：\n$$\n\\int_{1}^{3} \\left(\\frac{1}{2}(t-1)\\right)^2 dt = \\frac{1}{4} \\int_{1}^{3} (t^2 - 2t + 1) dt = \\frac{1}{4} \\left[ \\frac{t^3}{3} - t^2 + t \\right]_{1}^{3}\n$$\n$$\n= \\frac{1}{4} \\left( \\left(\\frac{27}{3} - 9 + 3\\right) - \\left(\\frac{1}{3} - 1 + 1\\right) \\right) = \\frac{1}{4} \\left( (9 - 9 + 3) - \\frac{1}{3} \\right) = \\frac{1}{4} \\left( 3 - \\frac{1}{3} \\right) = \\frac{1}{4} \\left( \\frac{8}{3} \\right) = \\frac{2}{3}\n$$\n由于两个积分相等，总能量为：\n$$\nE_o = \\frac{2}{3} + \\frac{2}{3} = \\frac{4}{3}\n$$\n因此，信号 $x(t)$ 的奇分量的总能量是 $\\frac{4}{3}$。", "answer": "$$\\boxed{\\frac{4}{3}}$$", "id": "1711935"}]}