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CollatzCartography (collatz_experiment.py)

加速コラッツ写像（奇数上）を対象に、 「ブロック (2^k)（花弁）」という等比区間の中で起きる現象を ログ化・差分比較・統計化する実験フレームワークです。

本スクリプトは以下を出力します：

  • 軌道ログ（加速コラッツの各ステップ記録）
  • 差分ログ（同一ブロックオフセット (+2^k m) を与えた軌道どうしの比較）
  • 統計 JSON（跳ね上がり・差分顕在化・2冪地形など）

1. 背景（観測している量）

奇数 (n) に対して、加速コラッツ写像を

[ T(n) := \frac{3n+1}{2^{v_2(3n+1)}} \quad (\text{常に奇数}) ]

と定義し、観測関数

[ s(n) := v_2(3n+1) ]

を記録します。

また、ステップ (m) に対し

  • 部分和 (;S_m := \sum_{i=1}^{m} s_i)
  • ドリフト（対数平均からのズレ） [ D_m := m\log_2 3 - S_m ]
  • 途中の最大跳ね上がり（prefix 最大） [ \max_{t\le m} D_t ] （JSON キー: max_prefix_D）

をログ・統計として出力します。

2. 目的（花弁比較＝ブロック比較）

ブロックサイズ (2^k) を固定し、基準値 (n_0) に対して

[ n_0' := n_0 + 2^k \cdot m ]

のような ブロックオフセットを与えた軌道を比較します。

比較対象は主に

  • (s) 列の差分 (\Delta s_t := s(n'_t) - s(n_t))
  • 軌道値の差 (\Delta n_t := n'_t - n_t)
  • その 2 進評価 (;v_2(|\Delta n_t|))

です。

この差分がいつ（どのステップで）顕在化するか、また「2冪地形」がどう崩れるかを観測します。

3. 必要環境

  • Python 3.x
  • NumPy

4. 実行方法（CLI）

python collatz_experiment.py --k 8 --max-m 256 --num-bases 32 --output results/

オプション

  • --k : ブロック指数 (k)（ブロックサイズは (2^k)）
  • --max-m : 軌道の最大長（最大ステップ数）
  • --num-bases : 基準奇数 (n_0) の個数（1〜(2^k-1) の奇数から先頭を使用）
  • --output : 出力ディレクトリ

5. 出力ファイル

--output で指定したディレクトリに以下が作成されます：

  • trajectories_k{k}.json 基準軌道ログ（各 (n_0) についてのステップ記録）

  • differences_k{k}.json 差分ログ（基準軌道とオフセット軌道の比較）

  • statistics_k{k}.json 実験統計（平均・最大・最小など）

6. JSON 仕様（概要）

6.1 trajectories_k{k}.json

各要素は 1 本の軌道ログ：

  • n0: 初期値（奇数）
  • k: ブロック指数
  • m: 実際に記録されたステップ数
  • S_m: (s) の総和
  • D_m: ドリフト (D_m)
  • max_prefix_D: (\max_{t\le m} D_t)
  • segments: 各ステップの詳細（n, a=3n+1, s=v2(a), n_next）

6.2 differences_k{k}.json

各要素は基準 (n_0) とオフセット (n_0 + 2^k m) の比較ログ：

  • n0, k

  • m_shift: オフセット係数 (m)

  • m: 比較に用いたステップ数

  • first_delta_index: (\Delta s \ne 0) が初めて出たステップ（無ければ null）

  • singular_indices: s_base >= k となったステップ群

  • max_abs_delta_s, min_delta_s, sum_delta_s, first_delta_value

  • max_v2_delta_n: 比較区間内の (v_2(|\Delta n|)) 最大値

  • segments: 各ステップの比較詳細

    • delta_s, s_base, s_shifted
    • n_base, n_shifted, delta_n, v2_delta_n
    • singular_at_base（s_base >= k）

6.3 statistics_k{k}.json

代表的なキー：

  • 実験条件

    • k, block_size, num_trajectories, num_difference_logs, log2_3

  • ドリフト統計

    • drift_mean, drift_std, drift_min, drift_max

  • 特異（s >= k）の出現位置

    • first_singular_mean, first_singular_median（存在する場合）

  • 差分顕在化

    • diff_first_delta_mean, diff_first_delta_median, diff_first_delta_max（存在する場合）

  • 花弁地形（2冪一致度）

    • v2_delta_n_mean, v2_delta_n_max, v2_delta_n_min（存在する場合）

7. 実験上の注意

  • first_delta_index = null は「差が永遠に無い」とは限りません。 比較は有限ステップなので「観測窓内で差が出なかった」ケースを含みます。

  • 差分ログは計算量を抑えるため、現在は **基準軌道の一部（先頭数本）**のみに対して作成する設計です。 （必要なら差分対象を増やす拡張が可能です）

8. ライセンス

スクリプト先頭のヘッダに従います（例：MIT）。