Формула шлифовщика

Новый раздел в оптике: стрелка прогиба сферического зеркала, связь
с фокусным расстоянием и относительным отверстием, измерение радиуса
кривизны сферометром, критерий замены параболоида сферой. Добавлена
ссылка на Сикорука в lit.bib и метка раздела об аберрациях.

Co-Authored-By: Claude Fable 5.1 <noreply@anthropic.com>

Author: vobolgus

lit.bib

@@ -205,5 +205,11 @@ @article{whiteDwarfCooling
     url = {https://iopscience.iop.org/article/10.1086/342528/pdf},
 }
 
-
-
+@book{sikoruk,
+	author    = {Сикорук, Леонид Леонидович},
+	title     = {Телескопы для любителей астрономии},
+	publisher = {Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.},
+	year      = {1990},
+	address   = {Москва},
+	edition   = {2-е изд., перераб. и доп.}
+}

sections/optics/aberrations.tex

@@ -1,4 +1,5 @@
 \subsection{Аберрации в оптике}
+\label{sec:aberrations}
 \paragraph{Хроматическая аберрация}
 Пожалуй главным недостатком оптических схем, содержащий преломляющие оптические элементы (линзы; призмы, за исключением использования их для спектроскопии) является \imp{хроматические аберрации}. Дело в том, что показатель преломления материала линзы зависит от длины волны падающего излучения. Это приводит к тому, что положения фокуса оптической системы зависит от длины волны излучения. При наблюдениях это проявляется как радужный ореол вокруг объектов, ухудшающий качество изображения.
 

sections/optics/grinder-formula.tex

@@ -0,0 +1,82 @@
+\subsection{Формула шлифовщика}
+\label{sec:grinder-formula}
+
+\begin{wrapfigure}[11]{r}{0.5\tw}
+    \centering
+    \vspace{-1pc}
+    \tikzsetnextfilename{mirror-sagitta}
+    \begin{tikzpicture}
+        \footnotesize
+
+        \draw [dashes] (-3.9, 0) -- (0.7, 0);
+        \draw [semithick] (-3, 0) ++(-30:3) arc(-30:30:3);
+        \draw [dashes] (-0.402, -1.5) -- (-0.402, 1.5);
+        \draw (-3, 0) -- (-0.402, 1.5);
+
+        \draw [latex-latex] (-0.402, 0) -- (0, 0);
+        \draw [latex-latex] (-1.1, -1.5) -- (-1.1, 1.5);
+        \draw (-1.3, -1.5) -- (-0.402, -1.5);
+        \draw (-1.3, 1.5) -- (-0.402, 1.5);
+
+        \draw (-0.2, 0) node[anchor=south] {$h$};
+        \draw (-1.1, 0.4) node[anchor=east] {$D$};
+        \draw (-1.9, 0.75) node[anchor=south east] {$R$};
+        \draw (-3, 0) node[anchor=north] {$C$};
+        \draw (0, 0) node[anchor=north west] {$O$};
+
+        \draw [fill=white] (-3, 0) circle (.03);
+        \draw [fill=white] (0, 0) circle (.03);
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Сечение сферического зеркала диаметром $D$ и радиусом кривизны $R$; $h$~--- стрелка прогиба}
+    \label{pic:mirror-sagitta}
+\end{wrapfigure}
+Главное зеркало рефлектора изготавливают шлифовкой: на стеклянном диске диаметром $D$ вышлифовывают вогнутую сферическую поверхность радиуса кривизны $R$, которую затем при необходимости доводят до параболоида. Контролировать форму поверхности в процессе работы удобно по \term{стрелке прогиба} (стрелке кривизны) $h$~--- глубине выемки в центре зеркала относительно его края, \lookPicRef{pic:mirror-sagitta}. Соотношение, связывающее стрелку прогиба с диаметром и радиусом кривизны зеркала, называют \term{формулой шлифовщика}. Подробнее о технологии изготовления зеркал см.~\cite{sikoruk}.
+
+Рассмотрим сечение зеркала плоскостью, проходящей через оптическую ось. Оно представляет собой дугу окружности радиуса $R$ с центром в точке $C$, стягиваемую хордой длины $D$. Расстояние от центра кривизны до хорды равно $R - h$, поэтому по теореме Пифагора
+\begin{gather*}
+    R^2 = \left(\frac{D}{2}\right)^2 + (R - h)^2,\\
+    h = R - \sqrt{R^2 - \frac{D^2}{4}}.
+\end{gather*}
+Полученное выражение точное, однако на практике всегда $D \ll R$, и его удобно упростить. Разложим корень в ряд по малому параметру $D/2R$, ограничившись первым отличным от нуля слагаемым:
+\begin{equation}
+    h = R \left(1 - \sqrt{1 - \frac{D^2}{4R^2}}\right)
+      \approx R \cdot \frac{D^2}{8R^2}
+      = \frac{D^2}{8R}.
+    \label{eq:grinder-formula}
+\end{equation}
+Фокус сферического зеркала лежит посередине между зеркалом и центром его кривизны, $F = R/2$, \lookPicRef{pic:sphere-aberrations-mirrow}. Следовательно, формулу шлифовщика можно записать через фокусное расстояние или относительное отверстие $\forall = D/F$:
+\begin{equation}
+    h \approx \frac{D^2}{16F} = \frac{D \forall}{16}.
+\end{equation}
+Например, для зеркала диаметром $150$~мм с фокусным расстоянием $1200$~мм ($\forall = 1/8$) стрелка прогиба составляет всего $h \approx 1.2$~мм. Объём стекла, снимаемого при шлифовке, равен объёму шарового сегмента высоты $h$, то есть
+\begin{equation*}
+    V = \frac{\pi h^2 (3R - h)}{3} \approx \pi h^2 R \approx \frac{\pi D^2 h}{8} \approx 10\text{ см}^3.
+\end{equation*}
+
+Обратная задача возникает при измерении радиуса кривизны готовой поверхности \term{сферометром}~--- прибором из трёх опорных ножек, расположенных на окружности диаметра $d$, и измерительного стержня в её центре. Сферометр ставят на зеркало и измеряют стрелку прогиба $h$ на диаметре $d$, откуда, повторяя выкладки выше без приближений,
+\begin{equation}
+    R = \frac{d^2}{8h} + \frac{h}{2}.
+\end{equation}
+Второе слагаемое~--- поправка к формуле шлифовщика \eqref{eq:grinder-formula}, которой при $h \ll d$ можно пренебречь.
+
+\paragraph{Сфера или параболоид?} Параболическое зеркало свободно от сферической аберрации, \lookSecRef{sec:aberrations}, но параболизация~--- самый трудоёмкий этап изготовления. Выясним, когда сферическое зеркало можно использовать вместо параболического. Пусть $r$~--- расстояние от оптической оси, $z$~--- отклонение поверхности от касательной плоскости в вершине зеркала. Уравнение параболы с радиусом кривизны $R$ в вершине имеет вид $z_\text{п} = r^2/2R$. Разложим в ряд уравнение сферы того же радиуса, удержав на этот раз два слагаемых:
+\begin{equation*}
+    z_\text{сф} = R - \sqrt{R^2 - r^2}
+        = \frac{r^2}{2R} + \frac{r^4}{8R^3} + \dots
+\end{equation*}
+Таким образом, сфера отклоняется от параболоида на величину $\Delta z = r^4/8R^3$, максимальную на краю зеркала, при $r = D/2$:
+\begin{equation*}
+    \Delta z_\text{max} = \frac{D^4}{128 R^3} = \frac{D^4}{1024 F^3}.
+\end{equation*}
+При отражении разность хода лучей удваивается. С другой стороны, подбором радиуса сферы, что равносильно перефокусировке, размах ошибки волнового фронта можно уменьшить ещё в четыре раза.\footnote{Ошибка волнового фронта сферы относительно параболоида $W(r) = a r^4 - \beta r^2$, где $a = 1/4R^3$, а слагаемое $\beta r^2$ описывает изменение радиуса сферы. Размах $W$ на отрезке $[0, D/2]$ минимален при $\beta = a D^2/4$: тогда $W(0) = W(D/2) = 0$, а минимум $W = -a D^4/64$ достигается при $r^2 = D^2/8$. Размах $a D^4/64$ ровно в четыре раза меньше, чем $W(D/2) = a D^4/16$ при $\beta = 0$.} Наименьшая достижимая ошибка волнового фронта
+\begin{equation}
+    \Delta_\text{min} = \frac{2 \Delta z_\text{max}}{4} = \frac{D^4}{2048 F^3}.
+\end{equation}
+Согласно критерию Рэлея оптическая система строит практически идеальное изображение, если ошибка волнового фронта не превышает $\lambda/4$. Отсюда условие, при котором сферическое зеркало не требует параболизации:
+\begin{equation}
+    \frac{D^4}{2048 F^3} \leqslant \frac{\lambda}{4}
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    F \geqslant \sqrt[3]{\frac{D^4}{512 \lambda}}.
+    \label{eq:sphere-vs-paraboloid}
+\end{equation}
+Для зеркала диаметром $150$~мм и $\lambda = 550$~нм получаем $F \geqslant 1.2$~м, то есть $\forall \leqslant 1/8$. С ростом диаметра требование ужесточается: зеркало диаметром $300$~мм остаётся сферическим лишь при $\forall \leqslant 1/10$, поэтому крупные зеркала практически всегда параболизуют.

sys/optics.tex

@@ -7,4 +7,4 @@ \section{Оптика}
 \input{sections/optics/snell-law}
 \input{sections/optics/aberrations}
 \input{sections/optics/diffraction}
-
+\input{sections/optics/grinder-formula}